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組合せ問題間の還元可能性
Richard M. Karp
Richard M. Karpによる序論
1960年代を通じて、Paul Rothと論理回路設計を、Mike Heldと組立ラインのバランシングおよび巡回セールスマン問題を含む、組合せ最適化問題に取り組んだ。これらの経験から、一見単純な離散最適化問題が、組合せ爆発の種を内包し得ることを認識した。Dantzig、Fulkerson、Hoffman、Edmonds、Lawlerおよびその他の先駆者たちによるネットワークフロー、マッチング、マトロイドの研究を通じて、ときに可能であった洗練された効率的なアルゴリズムに触れた。Jack Edmondsの論文と彼とのいくつかの重要な議論によって、多項式時間での解決可能性と超多項式時間での解決可能性の間にある決定的な相違に注意を向けるようになった。また、最適解を迅速に検証する手段としてのmin-max定理を重視するJackの姿勢にも影響を受けた。これは、Steve Cookによる計算量クラスNPの定義を予示するものであった。もう一つの影響は、整数計画法が組合せ最適化問題のための普遍的な形式として役立ち得るというGeorge Dantzigの提案であった。
1960年代を通じて、Rabin、Blum、Hartmanis、Stearnsらが先導した計算量理論の発展を追っていた。1960年代後半には、ブルックリン工科大学で再帰関数理論の講義を担当しながら、Hartley Rogersの美しい著書を学んだ。この経験によって、再帰関数理論における還元可能性が果たす中心的な役割を深く認識し、部分再帰的還元可能性が計算量理論においても同様の役割を果たし得るのではないかと考え始めたが、当時はまだその類推を追究していなかった。
References
- 1. S.A. Cook, *The complexity of theorem proving procedures*, Proceedings of the 3rd Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 1971, pp. 151–158. 2. M.R. Garey and D.S. Johnson, *Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness*, W.H. Freeman & Co., 1979.
- 8 Reducibility Among Combinatorial Problems
- The following article originally appeared as:
- R.M. Karp, Reducibility Among Combinatorial Problems, Complexity of Computer Computations (R.E. Miller and J.W. Thatcher, eds.), Plenum Press, 1972, pp. 85–103.
- Copyright © 1972 Plenum Press.
- Reprinted by permission from Kluwer Academic Publishers.
- Richard M. Karp University of California at Berkeley
- Abstract: A large class of computational problems involve the determination of properties of graphs, digraphs, integers, arrays of integers, finite families of finite sets, boolean formulas and elements of other countable domains. Through simple encodings from such domains into the set of words over a finite alphabet these problems can be converted into language recognition problems, and we can inquire into their computational complexity. It is reasonable to consider such a problem satisfactorily solved when an algorithm for its solution is found which terminates within a number of steps bounded by a polynomial in the length of the input. We show that a large number of classic unsolved problems of covering, matching, packing, routing, assignment and sequencing are equivalent, in the sense that either each of them possesses a polynomial-bounded algorithm or none of them does.
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